题目内容

如图，椭圆C：
x2
4
+
y2
m
=1（0＜m＜4）的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．
（1）若点P的坐标为（4，3），求m的值；
（2）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求实数m的最大值．
（1）依题意，M是线段AP的中点，
因为A（-2，0），P（4，3），
所以点M的坐标为(1，
3
2
)．
由点M在椭圆C上，所以
1
4
+
9
4m
=1，
解得m=3．
（2）设M（x0，y0），则
x20
4
+
y20
m
=1①，由题意知-2＜x0＜2．
因为M是线段AP的中点，所以P（2x0+2，2y0）．
因为OP⊥OM，所以x0(2x0+2)+2y02=0．②
由①②消去y0，整理可得m=
4x0(x0+1)
x02-4
=4+
4
(x0+4)+
12
x0+4
-8
≤2-
3
，
当且仅当x0=-4+2
3
时，等号成立，
因为0＜m＜4，
所以m的最大值是2-
3
．
练习册系列答案
相关题目
椭圆
x2
2
+
y2
=1上的点到直线2x-y=7距离最近的点的坐标为（　　）
A．（-
4
3
，
1
3
）		B．（
4
3
，-
1
3
）		C．（-
4
3
，
17
3
）		D．（
4
3
，-
17
3
）
如图所示，F1，F2分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点到F1，F2两点的距离之和为4且b=
3
．
（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积．
设椭圆方程为x2+
y2
4
=1，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，点N的坐标为(
1
2
，
1
2
)，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）|
NP
|的最小值与最大值．
椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，长轴端点与短轴端点间的距离为
5
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若OE⊥OF，求直线l的斜率．
若椭圆
x2
12
+
y2
8
=1上有两点P、Q关于直线l：6x-6y-1=0对称，则PQ的中点M的坐标是（　　）
A．(
1
3
，
1
6
)		B．(
1
2
，
1
3
)		C．(-
1
3
，-
1
2
)		D．(-
1
2
，-
1
3
)
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于A，B两点．
（1）求证：直线l与双曲线C只有一个公共点；
（2）设直线l与双曲线C的公共点为M，且
AM
=λ
AB
，证明：λ+e2=1；
（3）设P是点F1关于直线l的对称点，当△PF1F2为等腰三角形时，求e的值．
已知椭圆
x2
4
+
y2
3
=1，过椭圆的右焦点F的直线l与椭圆交于点A、B，定直线x=4交x轴于点K，直线KA和直线KB的斜率分别是k1、k2．
（1）若直线l的倾斜角是45°，求线段AB的长；
（2）求证：k1+k2=0．
已知双曲线C的中心在原点，抛物线y2=2
5
x的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线经过点(1，
3
)，又知直线l：y=kx+1与双曲线C相交于A、B两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若
OA
⊥
OB
，求实数k值．

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