Question

【题目】已知函数.

（1）当时，判断函数的奇偶性并证明；

（2）讨论的零点个数.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）详见解析.

【解析】试题分析：（1）利用奇偶性的定义，判断并证明得为奇函数；（2）分参得，判断其单调性和值域，得零点个数的情况。

试题解析：

解法一：（Ⅰ）当时，函数，该函数为奇函数.

证明如下:

依题意得函数的定义域为R，

又

所以，函数为奇函数.

（Ⅱ）因为

所以 ，

因为函数在上单调递增且值域为

所以， 在上单调递减且值域为

所以，当或时，函数无零点；

当时，函数有唯一零点.

解法二：（Ⅰ）当时，函数，该函数为奇函数.

证明如下:

依题意有函数定义域为R，

又

=

即.

所以，函数为奇函数.

（Ⅱ）问题等价于讨论方程=0的解的个数。

由，得

当时，得，即方程无解；

当时，得，

当即时，方程有唯一解；

当即或时，方程无解.

综上所述，当或时，函数无零点；

当时，函数有唯一零点.