Question

【题目】已知函数f（x）=aln（x+1）+ x2﹣x，其中a为实数．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求证：2f（x2）﹣x1＞0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）， = ．

①当a﹣1≥0时，即a≥1时，f'（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；

②当0＜a＜1时，由f'（x）=0得 ， ，

故f（x）在（﹣1，﹣ ）上单调递增，在（﹣ ， ）上单调递减，

在（ ，+∞）上单调递增；

③当a＜0时，由f'（x）=0得x1= ，x2=﹣ （舍）

f（x）在（﹣1， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则0＜a＜1， ， ，

∴x1+x2=0，x1x2=a﹣1且x2∈（0，1），

要证2f（x2）﹣x1＞0f（x2）+ x2＞0aln（x2+1）+ ﹣ x2＞0（1+x2）ln（x2+1）﹣ x2＞0，

令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣ x，x∈（0，1），

∵g′（x）=ln（x+1）+ ＞0，

∴g（x）在（0，1）递增，

∴g（x）＞g（0）=0，

∴命题得证．

【解析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负研究函数f（x）的单调性；（Ⅱ）所证问题转化为（1+x2）ln（x2+1）﹣ x2＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣ x，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．