Question

5．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，P为椭圆上一点，且∠F₁PF₂=120°，则椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率的取值范围为[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F₁PF₂渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P₀处时，张角∠F₁PF₂达到最大值，由此可得结论．

解答 解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，
P对两个焦点的张角∠F₁PF₂渐渐增大，
当且仅当P点位于短轴端点P₀处时，
张角∠F₁PF₂达到最大值．
由此可得：∵存在点P为椭圆上一点，使得∠F₁PF₂=120°，
∴△P₀F₁F₂中，∠F₁P₀F₂≥120°，
∴Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂≥60°，
所以P₀O≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$OF₂，即b≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，
∴a²-c²≤$\frac{1}{3}$c²，可得a²≤$\frac{4}{3}$c²，
∴e=$\frac{c}{a}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤e＜1．
故答案为：[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

点评 本题考查了直角三角形的三角函数和椭圆的简单几何性质等知识点，考查数形结合的数学思想，属于中档题．