题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为,且与双曲线有相同的焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆相交于,两点,点满足,点,若直线斜率为,求面积的最大值及此时直线的方程.
【答案】(1)(2),直线的方程为
【解析】
(1)有题意有可求解.
(2)先讨论特特殊情况, 是否为原点,然后当的斜率存在时, 设的斜率为,表示出的长度,进一步表示出的面积,然后求最值.
解:(1)由题设知
,
椭圆的方程为:
(2)法一: 为的中点
又
1)当为坐标原点时
当的斜率不存在时,此时、为短轴的两个端点
当的斜率存在时,设的斜率为
设,,则,代入椭圆方程
整理得:
,
到的距离
解一:令
令
或
函数在单调递增,单调递减,单调递增
时,为的极大值点,也是最大值点
直线方程为
解二:设,则
要得的最大值
,
当,时,即,时等号成立
,直线方程为
2)当不为原点时,由,
,,三点共线
,设,,,
的斜率为
,,
,在椭圆上,
得
,即
设直线代入椭圆方程,整理得
,
到直线的距离
令,,
令,,,
在上单调递增,在上单调递减
,
,此时直线
综上所述:,直线的方程为
解二:设,,为的中点,在椭圆上
当直线的斜率不存在时,设则,
, 所以
,则,为短轴上的两个端点
当直线的斜率存在时,设,
消去得
,
,
由得
或
下同解法一
【题目】近年来,我国工业经济发展迅速,工业增加值连年攀升,某研究机构统计了近十年(从2008年到2017年)的工业增加值(万亿元),如下表:
年份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
工业增加值 | 13.2 | 13.8 | 16.5 | 19.5 | 20.9 | 22.2 | 23.4 | 23.7 | 24.8 | 28 |
依据表格数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.
5.5 | 20.6 | 82.5 | 211.52 | 129.6 |
(1)根据散点图和表中数据,此研究机构对工业增加值(万亿元)与年份序号的回归方程类型进行了拟合实验,研究人员甲采用函数,其拟合指数;研究人员乙采用函数,其拟合指数;研究人员丙采用线性函数,请计算其拟合指数,并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好.(注:相关系数与拟合指数满足关系).
(2)根据(1)的判断结果及统计值,建立关于的回归方程(系数精确到0.01);
(3)预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关.
附:样本 的相关系数,
,,.