题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，且与双曲线
有相同的焦点.
（1）求椭圆
的方程；
（2）直线
与椭圆相交于
，
两点，点
满足
，点
，若直线
斜率为
，求
面积的最大值及此时直线的方程.
【答案】（1）
（2）
，直线的方程为
【解析】
(1)有题意有
可求解.
(2)先讨论特特殊情况, 
是否为原点，然后当
的斜率存在时, 设的斜率为
,表示出
的长度，进一步表示出
的面积,然后求最值.
解：（1）由题设知
，
椭圆的方程为：
（2）法一：
为的中点
又
1）当为坐标原点时
当的斜率不存在时，此时
、
为短轴的两个端点
当的斜率存在时，设
的斜率为
设
，
，则
，代入椭圆方程
整理得：
，
到的距离
解一：令
令
或
函数
在
单调递增，
单调递减，
单调递增
时，
为的极大值点，也是最大值点
直线方程为
解二：设
，则
要得
的最大值
，
当
，
时，即
，
时等号成立
，直线方程为
2）当不为原点时，由
，
，
，三点共线
，设，，
，
的斜率为
，
，
，在椭圆上，
得
，即
设直线
代入椭圆方程，整理得
，
到直线的距离
令
，
，
令
，
，
，
在
上单调递增，在
上单调递减
，
，此时直线
综上所述：，直线的方程为
解二：设，，为的中点，在椭圆上
当直线的斜率不存在时，设
则
，
， 所以
，则，为短轴上的两个端点
当直线的斜率存在时，设
，
消去
得
, 
，
由
得
或
下同解法一
孟建平错题本系列答案
超能学典应用题题卡系列答案【题目】近年来，我国工业经济发展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年（从2008年到2017年）的工业增加值（万亿元），如下表：
年份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
工业增加值 | 13.2 | 13.8 | 16.5 | 19.5 | 20.9 | 22.2 | 23.4 | 23.7 | 24.8 | 28 |
依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
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5.5 | 20.6 | 82.5 | 211.52 | 129.6 |
（1）根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值
（万亿元）与年份序号
的回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数
，其拟合指数
；研究人员乙采用函数
，其拟合指数
；研究人员丙采用线性函数
，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好.（注：相关系数
与拟合指数
满足关系
）.
（2）根据（1）的判断结果及统计值，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；
（3）预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关.
附：样本
的相关系数
，
，
，
.
