题目内容

【题目】已知椭圆的离心率为,且与双曲线有相同的焦点.

1)求椭圆的方程;

2)直线与椭圆相交于两点,点满足,点,若直线斜率为,求面积的最大值及此时直线的方程.

【答案】12,直线的方程为

【解析】

(1)有题意有可求解.
(2)先讨论特特殊情况, 是否为原点,然后当的斜率存在时, 设的斜率为,表示出的长度,进一步表示出的面积,然后求最值.

解:(1)由题设知

椭圆的方程为:

2)法一: 的中点

1)当为坐标原点时

的斜率不存在时,此时为短轴的两个端点

的斜率存在时,设的斜率为

,则,代入椭圆方程

整理得:

的距离

解一:令

函数单调递增,单调递减,单调递增

时,的极大值点,也是最大值点

直线方程为

解二:设,则

要得的最大值

时,即时等号成立

,直线方程为

2)当不为原点时,由

三点共线

,设

的斜率为

在椭圆上,

,即

设直线代入椭圆方程,整理得

到直线的距离

上单调递增,在上单调递减

,此时直线

综上所述:,直线的方程为

解二:设的中点,在椭圆上

当直线的斜率不存在时,设

, 所以

,则为短轴上的两个端点

当直线的斜率存在时,设

消去

,

下同解法一

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