题目内容

【题目】已知函数的导函数,且.

1)求的值,并证明处取得极值;

2)证明:在区间有唯一零点.

【答案】(1),证明见解析(2)证明见解析

【解析】

1)求出导函数,根据求出的值,再通过计算导函数的正负情况说明函数的单调性,计算出极值点.

2)根据由零点存在性定理可知函数在区间有零点,再证明零点的唯一性即可.

解:(1,令,得,∴.

.

时,,故是区间上的增函数.

时,令,则,在区间上,,故上的减函数,∴,即在区间上,,因此是区间上的减函数.综上所述,处取得极大值.

2)由(1,∵(当且仅当时,.

,∴在区间至少有一个零点.

以下讨论在区间上函数值的变化情况:

由(1,令,则

,在上,解得.

①当时,在区间递减,;在

递增,.故存在唯一实数,使,即.

上,递减,;在上,递增,而,故在上,,当且仅当时,.上有唯一零点.

②对任意正整数,在区间递减,

在区间递增,,故存在唯一实数,使,即,在上,因,故递减,在上,因,故递增,,∴

在区间有唯一零点.

综上,在区间有唯一零点.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网