题目内容
【题目】已知函数,是的导函数,且.
(1)求的值,并证明在处取得极值;
(2)证明:在区间有唯一零点.
【答案】(1),证明见解析(2)证明见解析
【解析】
(1)求出导函数,根据求出的值,再通过计算导函数的正负情况说明函数的单调性,计算出极值点.
(2)根据,由零点存在性定理可知函数在区间有零点,再证明零点的唯一性即可.
解:(1),令,得,∴.
∴,.
当时,,,故是区间上的增函数.
当时,令,则,在区间上,,故是上的减函数,∴,即在区间上,,因此是区间上的减函数.综上所述,在处取得极大值.
(2)由(1),∵(当且仅当时,.)
,∴在区间至少有一个零点.
以下讨论在区间上函数值的变化情况:
由(1),令,则,
令,在上,解得,.
①当时,在区间,,递减,;在,,
递增,.故存在唯一实数,使,即.在
上,,递减,;在上,,递增,而,故在上,,当且仅当时,.故在上有唯一零点.
②对任意正整数,在区间,,递减,,
在区间,,递增,,故存在唯一实数,使,即,在上,因,故,递减,在上,因,故,递增,,,∴,
∴在区间即有唯一零点.
综上,在区间有唯一零点.
【题目】大数据时代对于现代人的数据分析能力要求越来越高,数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某条数式的表示方式,比如,,2,,n是平面直角坐标系上的一系列点,用函数来拟合该组数据,尽可能使得函数图象与点列比较接近.其中一种描述接近程度的指标是函数的拟合误差,拟合误差越小越好,定义函数的拟合误差为:.已知平面直角坐标系上5个点的坐标数据如表:
x | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
y | 12 | 4 | 12 |
若用一次函数来拟合上述表格中的数据,求该函数的拟合误差的最小值,并求出此时的函数解析式;
若用二次函数来拟合题干表格中的数据,求;
请比较第问中的和第问中的,用哪一个函数拟合题目中给出的数据更好?请至少写出三条理由