题目内容
【题目】已知f(x)=ax2﹣2(a+1)x+3(a∈R).
(1)若函数f(x)在 单调递减,求实数a的取值范围;
(2)令h(x)= ,若存在 ,使得|h(x1)﹣h(x2)|≥ 成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:①当a=0时,f(x)=﹣2x+3,显然满足;
② ,③ ,
综上:
(2)解:存在 ,使得|h(x1)﹣h(x2)|≥ 成立即:
在 上,h(x)max﹣h(x)min≥ 成立,
因为 ,令 ,
则 , .
(i)当a≤0时,g(t)在 单调递减,所以 ,
等价于 ,所以a≤0.
(ii)当0<a<1时, ,g(t)在 上单调递减,
在 上单调递增.
①当 时,即 ,g(t)在 单调递增.
由 得到 ,所以 .
②当 时, 时,g(t)在 单调递减,
由 得到 ,所以 .
③当 ,即 时, ,
最大值则在g(2)与 中取较大者,作差比较 ,得到分类讨论标准:
a.当 时, ,此时 ,
由 ,
得到 或 ,
所以 .
b.当 时, ,此时g(t)max=g(2),
由 ,得到 ,
所以此时a∈,
在此类讨论中, .
c.当a≥1时,g(t)在 单调递增,由 ,
得到 ,所以a≥1,
综合以上三大类情况,
【解析】(1)对a讨论,a=0,a>0,a<0,结合二次函数的图象和单调性的性质,得到不等式组,解不等式即可得到a的范围;(2)由题意可得在 上,h(x)max﹣h(x)min≥ 成立,因为 ,令 ,则 , .对a讨论,(i)当a≤0时,(ii)当0<a<1时,求出单调性和最值,即可得到a的范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识,掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值,以及对二次函数的性质的理解,了解增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.