Question

【题目】设F1 ， F2分别是椭圆E：x2+ =1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． （Ⅰ）求|AB|；
（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4 又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得
（Ⅱ）L的方程式为y=x+c，其中
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则A，B两点坐标满足方程组 ．，
化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．
则 ．
因为直线AB的斜率为1，所以
即 ．
则 ．
解得
【解析】（Ⅰ）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，再由|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，能够求出|AB|的值．（Ⅱ）L的方程式为y=x+c，其中 ，设A（x1 ， y1），B（x1 ， y1），则A，B两点坐标满足方程组 ，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小．