题目内容
【题目】已知函数f(x)=2x+cosα﹣2﹣x+cosα , x∈R,且 .
(1)若0≤α≤π,求α的值;
(2)当m<1时,证明:f(m|cosθ|)+f(1﹣m)>0.
【答案】
(1)解: ,
,
由0≤α≤π,
∴
(2)解:证明:∵m<1,若|cosθ|≠1,则 ,
∴ ,m(|cosθ|﹣1)>﹣1,m|cosθ|>m﹣1,
又|cosθ|=1时左式也成立,∴m|cosθ|>m﹣1
由(1)知, ,在x∈R上为增函数,且为奇函数,
∴f(m|cosθ|)>f(m﹣1)∴f(m|cosθ|)+f(1﹣m)>0
【解析】(1)由f(1),解方程和特殊三角函数值,即可得到;(2)运用余弦函数的性质和参数分离,结合函数的单调性和奇偶性,即可得证.
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数的奇偶性,需要了解单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较;偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称才能得出正确答案.
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