Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，左，右焦点分别是F1 ， F2 ， 以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）线段PQ是椭圆C过点F2的弦，且 =λ ．
（i）求△PF1Q的周长；
（ii）求△PF1Q内切圆面积的最大值，并求取得最大值时实数λ的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可知，|PF1|+|PF2|=2a=3+1=4，可得a=2， 又 = ，a2﹣c2=b2 ， 可得c=1，b= ，
即有椭圆C的方程为 =1．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知：a=2．
线段PQ是椭圆C过点F2的弦，则△PF1Q的周长=4a=8．
（ii）因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，
且△F1PQ的周长是定值8，所以只需求出△F1PQ面积的最大值．
设直线l方程为x=my+1，与椭圆方程联立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，
设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），则y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，
|y1﹣y2|= = =12 ．
于是 = |F1F2||y1﹣y2|=12 ，设m2+1=t≥1．
∵ = = ≤ ，
∴S△F1PQ≤3，
所以内切圆半径r= ≤ ，此时m=0，λ=1．
因此其面积最大值是 π
【解析】（Ⅰ）由题意可知，|PF1|+|PF2|=2a=4，可得a=2，又 = ，a2﹣c2=b2 ， 解出即可得出．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知：a=2．线段PQ是椭圆C过点F2的弦，则△PF1Q的周长=4a．（ii）因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F1PQ的周长是定值8，所以只需求出△F1PQ面积的最大值．设直线l方程为x=my+1，与椭圆方程联立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设P（x1 ， y1span>），Q（x2 ， y2），|y1﹣y2|= ，于是 = |F1F2||y1﹣y2|，进而得出．