题目内容

已知平面向量
a
，
b
，
c
满足|
a
|=1，|
b
|=2，
a
，
b
的夹角等于
π
3
，且（
a
-
c
）•（
b
-
c
）=0，则|
c
|的取值范围是
[
7
-
3
2
，  
7
+
3
2
]
[
7
-
3
2
，  
7
+
3
2
]
．
分析：由条件可得
c
2=|
a
 +
b
|•|
c
|cosα-1，α为
a
 +
b
与
c
的夹角，再由 (
a
 +
b
)2=
7
求出|
a
 +
b
|=
7
，解得cosα=
c
2+1
7
|
c
|
．由于 0≤α≤π，-1≤cosα≤1，可得
c
2+1
7
|
c
|
≤1，即 |
c
|2-
7
|
c
|+1≤0，由此求得|
c
|的取值范围是．
解答：解：由（
a
 -
c
）•（
b
 -
c
）=0 可得
c
2=（
a
 +
b
）•
c
-
a
•
.
b
=|
a
 +
b
|•|
c
|cosα-1×2cos
π
3
=|
a
 +
b
|•|
c
|cosα-1，α为
a
 +
b
与
c
的夹角．
再由 (
a
 +
b
)2=
a
2+
b
2+2
a
•
b
=1+4+2×1×2cos
π
3
=7 可得|
a
 +
b
|=
7
，
∴
c
2=
7
|
c
|cosα-1，解得cosα=
c
2+1
7
|
c
|
．
∵0≤α≤π，∴-1≤cosα≤1，∴
c
2+1
7
|
c
|
≤1，即|
c
|2-
7
|
c
|+1≤0．
解得 
7
-
3
2
≤|
c
|≤
7
+
3
2
，
故答案为[
7
-
3
2
，  
7
+
3
2
]．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量数量积公式的应用，解一元二次不等式，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知平面向量
a
，
b
满足
a
•（
a
+
b
）=3，且|
a
|=2，|
b
|=1，则向量
a
与
b
的夹角为
2π
3
2π
3
．
已知平面向量
a
，
b
，|
a
|=1，|
b
|=2，且|2
a
+
b
|=
10
，则向量
a
与
a
-2
b
的夹角为
90°
90°
．
已知平面向量
a
、
b
满足|
a
|=3，|
b
|=2，
a
、
b
的夹角为60°，若（
a
-m
b
）丄
a
，则实数m的值为
3
3
．
已知平面向量
a
，
b
的夹角为120°，|
a
|=2，|
b
|=2，则
a
+
b
与
a
的夹角是
60°
60°
．
已知平面向量
a
与
b
共线，则下列结论中不正确的个数为（　　）
①
a
与
b
方向相同，
②
a
与
b
两向量中至少有一个为
0
，
③存在λ∈R，使
b
=λ 
a
，
④存在λ1，λ2∈R，且
λ
2
1
+λ
2
2
≠0，λ1
a
+λ2
b
=
0
．
A、1B、2C、3D、4

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