题目内容

16.已知t∈C,且$\frac{t+3}{t-3}$为纯虚数.
(1)求t的对应点的轨迹;
(2)判断复数$\frac{4+|t|i}{3+|t|i}$在复平面上对应的点所在的象限.

分析 (1)设出复数t的代数形式,代入$\frac{t+3}{t-3}$,利用复数的除法运算整理,由实部等于0且不等于0可求t得轨迹方程,可得t的轨迹是以原点为圆心,3为半径的圆,并除去(-3,0),(3,0)两点;
(2)化简复数,即可得出结论.

解答 解:(1)设t=x+yi(x,y∈R),则$\frac{t+3}{t-3}$=$\frac{x+yi+3}{x+yi-3}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-9-6yi}{(x-3)^{2}+{y}^{2}}$,
∵$\frac{t+3}{t-3}$为纯虚数,
∴x2+y2=9(y≠0),
∴t的对应点的轨迹是以原点为圆心,3为半径的圆,并除去(-3,0),(3,0)两点;
(2)复数$\frac{4+|t|i}{3+|t|i}$=$\frac{4+3i}{3+3i}$=$\frac{7}{6}$-$\frac{1}{6}$i,在复平面上对应的点所在的象限是第四象限.

点评 本题考查了复数的基本概念,考查了轨迹方程的求法,考查了圆的标准方程,解答的关键是对轨迹方程中不满足条件点的取舍,是中档题.

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