题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}中，bn＞0(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
【答案】(1)an＝3n－1(n∈N*),bn＝2n＋1(n∈N*)．
(2)Tn＝n·3n.
【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项的递推关系式：an＋1＝3an，再根据等比数列定义以及通项公式求数列{an}的通项公式；利用待定系数法求等差数列{bn}中首项与公差，再根据等差数列通项公式得{bn}的通项公式；（2）利用错位相减法求数列{an·bn}的前n项和Tn. 利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以
试题解析：解 (1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，
∴an＝2Sn－1＋1(n∈N*，n＞1)，
∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，
即an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an(n∈N*，n＞1)．
而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1.
∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴an＝3n－1(n∈N*)．
∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，
在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.
又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2.
∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，
∵bn＞0(n∈N*)，∴舍去d＝－10，取d＝2，
∴b1＝3，∴bn＝2n＋1(n∈N*)．
(2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)·3n－2＋(2n＋1)3n－1，①
∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②
∴①－②得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n＝3＋2×
－(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n
＝－2n·3n.∴Tn＝n·3n.
【题目】静宁县是甘肃苹果栽培第一大县，中国著名优质苹果基地和重要苹果出口基地．静宁县海拔高、光照充足、昼夜温差大、环境无污染，适合种植苹果．“静宁苹果”以色泽鲜艳、质细汁多，酸甜适度，口感脆甜、货架期长、极耐储藏和长途运输而著名．为检测一批静宁苹果，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
分组（重量） | [80，85） | [85，90） | [90，95） | [95，100） |
频数（个） | 5 | 10 | 20 | 15 |
（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；
（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？
（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．
