Question

【题目】已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求直线与曲线C围成的区域面积；

（Ⅱ）点在直线上，点，过点作曲线C的切线、，切点分别为、，证明：存在常数，使得，并求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)1

【解析】试题分析：可出设动圆圆心的坐标为，根据题设用直接法可得曲线方程；（Ⅰ）直线方程和曲线方程联立求交点坐标，根据定积分求曲边形面积可得结果；（Ⅱ）设、， ，根据导数求切线斜率，设切线方程，由韦达定理、用 ，表示可得 .

试题解析：（Ⅰ）设动圆圆心的坐标为，由题意可得， ，化简得， 联立方程组，解得或，所以直线与曲线C围成的区域面积为；

（Ⅱ）设、，则由题意可得，切线的方程为，切线的方程为，再设点，从而有，所以可得出直线AB的方程为，即．

联立方程组，得，又，所以有，

可得，

，

，

所以常数．

【方法点晴】本题主要考查抛物线标准方程、定积分的应用以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.