题目内容
【题目】已知的内角
、
、
的对边分别为
、
、
,
为
内一点,若分别满足下列四个条件:
①;
②;
③;
④;
则点分别为
的( )
A.外心、内心、垂心、重心B.内心、外心、垂心、重心
C.垂心、内心、重心、外心D.内心、垂心、外心、重心
【答案】D
【解析】
先考虑直角,可令
,
,
,可得
,
,
,设
,由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断①③④为三角形的内心、外心和重心;考虑等腰
,底角为
,设
,
,
,
,由向量的坐标表示和向量垂直的条件,可判断②为三角形的垂心.
先考虑直角,可令
,
,
,
可得,
,
,设
,
①,即为
,
即有,
,解得
,
即有到
,
轴的距离为1,
在
的平分线上,且到
的距离也为1,
则为
的内心;
③,
即为,
可得,
,解得
,
,
由,故
为
的外心;
④,可得
,
即为,
,解得
,
,
由的中点
为
,
,
,即
分中线
比为
,
故为
的重心;
考虑等腰,底角为
,
设,
,
,
,
②,
即为,
可得,
,解得
,
,
即,由
,
,即有
,
故为
的垂心.
故选:D
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