Question

4．已知函数f（x）=x³+ax²-a²x+2，a∈R．
（1）若a＜0时，试求函数y=f（x）的单调递减区间；
（2）如果对于一切x₁、x₂、x₃∈[0，1]，总存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导函数，令f'（x）＜0，结合a＜0，可得函数单调递减区间；
（2）先确定0＜a＜2，再求导函数，确定函数的单调性与最小值，进而可确定正实数a的取值范围．

解答 （1）解：f'（x）=3x²+2ax-a²=3（x+a）（x-$\frac{a}{3}$），
 令f'（x）＜0，∵a＜0，∴$\frac{a}{3}$＜x＜-a，
∴函数单调递减区间（$\frac{a}{3}$，-a）；
（2）由题设知，f（0）＜f（1）+f（1），即2＜2（-a²+a+3），
∴-1＜a＜2，
∵a＞0，∴0＜a＜2，
∵f'（x）=3（x+a）（x-$\frac{a}{3}$），
∴x∈（0，$\frac{a}{3}$）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（$\frac{a}{3}$，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴当x=$\frac{a}{3}$时，f（x）有最小值f（$\frac{a}{3}$）=-$\frac{5}{27}$a³+2，
∴f（$\frac{a}{3}$）=-$\frac{5}{27}$a³+2＞0①，f（0）＜2（-$\frac{5}{27}$a³+2）②，f（1）＜2（-$\frac{5}{27}$a³+2）③，
由①得a＜$\frac{3\root{3}{2}}{\root{3}{5}}$；由②得a＜$\frac{3}{\root{3}{5}}$，
∵0＜a＜2，
∴0＜a＜$\frac{3}{\root{3}{5}}$
不等式③化为$\frac{10}{27}$a³-a，
2+a-1＜0，则g（a）=$\frac{10}{9}$a²-2a+1＞0，
∴g（a）为增函数，
∵g（2）=-$\frac{1}{27}$＜0，
∴当（0，$\frac{3}{\root{3}{5}}$）时，g（a）＜0恒成立，即③成立
∴正实数a的取值范围为（0，$\frac{3}{\root{3}{5}}$）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查存在性问题的研究，正确求导是关键，属于中档题．