Question

11．设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，（n∈N^*_），且a₁=1．
（1）设c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$（n∈N⁺），求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=n（a_n+2ⁿ），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，（n∈N^*_），当n≥2时，2S_n-1=a_n-2ⁿ+1，相减可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}+1$$\frac{3}{2}（\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+1）$，c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$（n∈N⁺），利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，（n∈N^*_），
∴当n≥2时，2S_n-1=a_n-2ⁿ+1，
相减可得：2a_n=a_n+1-a_n-2ⁿ，
化为：$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}+1$$\frac{3}{2}（\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+1）$，
∵c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$（n∈N⁺），
∴${c}_{n+1}+1=\frac{3}{2}（{c}_{n}+1）$，
∴{c_n}是等比数列，公比为$\frac{3}{2}$，首项为$\frac{3}{2}$．
∴c_n+1=$（\frac{3}{2}）^{n}$，
∴c_n=$（\frac{3}{2}）^{n}$-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{3}^{n}}{{2}^{n}}$-1，
可得a_n=3ⁿ-2ⁿ．
（2）b_n=n（a_n+2ⁿ）=n•3ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=3+2×3²+3×2³+…+n•3ⁿ，
∴3T_n=3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{（1-2n）•{3}^{n+1}-3}{2}$，
∴T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n+1}+3}{4}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．