题目内容
15.已知向量$\overrightarrow{a}$=(cos θ,sin θ),向量$\overrightarrow{b}$=($\sqrt{3}$,-1),则|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最大值与最小值的和为4+$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$.分析 由条件求得|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})}^{2}}$=$\sqrt{8-8cos(θ+\frac{π}{6})}$,结合θ+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{7π}{6}$],利用余弦函数的定义域和值域,求得|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最大值与最小值,从而得出结论.
解答 解:由题意可得|$\overrightarrow{a}$|=1,|$\overrightarrow{b}$|=2,$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$cosθ-sinθ=2cos(θ+$\frac{π}{6}$),2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=(2cosθ-$\sqrt{3}$,2sinθ+1),
故|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})}^{2}}$=$\sqrt{4-8cos(θ+\frac{π}{6})+4}$=$\sqrt{8-8cos(θ+\frac{π}{6})}$,θ+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{7π}{6}$],
故当θ+$\frac{π}{6}$=π时,|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|取得最大值为4;
当θ+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$时,|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|取得最小值为$\sqrt{8-8×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$,
故|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最大值与最小值的和为4+$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$,
故答案为:4+$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$.
点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量的数量积公式,求向量的模的方法,余弦函数的定义域和值域,属于中档题.
A. | (x+1)2+(y-1)2=1 | B. | (x-1)2+(y+1)2=1 | ||
C. | (x+1)2+(y+1)2=1 | D. | (x+1)2+(y-1)2=1或(x-1)2+(y+1)2=1 |
A. | c>b>a | B. | c>a>b | C. | a>b>c | D. | b>c>a |