题目内容
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
(
),
为
上一点,以
为边作等边三角形
,且
、
、
三点按逆时针方向排列.
(Ⅰ)当点在
上运动时,求点
运动轨迹的直角坐标方程;
(Ⅱ)若曲线:
,经过伸缩变换
得到曲线
,试判断点
的轨迹与曲线
是否有交点,如果有,请求出交点的直角坐标,没有则说明理由.
【答案】(1)(2)
.
【解析】试题分析:考虑到 则
点的极坐标可以表示为
将
点代入直线
的极坐标方程中得到关于
的方程即为
点的极坐标方程,再转化为
点的直角坐标方程.(2)将曲线
的普通方程与直线
普通方程联立
故必有两个交点.
试题解析:(Ⅰ)设点的坐标为
,
则由题意可得点的坐标为
,
再由点的横坐标等于
,
,
可得,
可得,
故当点在
上运动时点
的直角坐标方程为
.
(Ⅱ)曲线:
,
,即
,代入
,即
,
联立点的轨迹方程,消去
得
,
有交点,坐标分别为
.
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