题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
底面
,底面
为直角梯形,
,
,
,
为
的中点,平面
交
于
点.
(1)求证: ;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析 (2)二面角的余弦值
【解析】试题分析:(1)先根据等腰三角形和已知推导出,从而
,再由
,得
平面
,由此证明
;(2)以
坐标原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系
分别求出平面
与平面
的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式能求二面角
的余弦值.
试题解析:证明:(1)因为,
分别为
,
的中点,
,所以
.
因为,所以
.
因为底面
,所以
.
因为,所以
平面
.
所以.
因为,所以
平面
因为平面
,所以
.
(2)如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系
.
则,
,
,
,
.
由(1)可知, 平面
,
所以平面的法向量为
.
设平面的法向量为
因为,
,
所以即
令,则
,
,
所以,所以
所以二面角的余弦值
.
【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角、线面垂直的判定及性质,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间有关系,某农科所对此关系进行了调查分析,他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子中的发芽数,得到如下资料:
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
温差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率;
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求出关于
的线性回归方程
;
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?
(参考公式: ,
)