Question

【题目】已知.

（1）设， ，若函数存在零点，求的取值范围；

（2）若是偶函数，设，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）;（2）见解析；

【解析】试题分析：（1）函数有零点转化为方程有解，只需求函数的值域， 的取值范围即为其值域；

（2）根据是偶函数，利用特殊值求，函数与的图象只有一个公共点，即方程有一解，得方程有一解，换元转化为一元二次方程只有一正根的问题，分类讨论即可求出.
（1）由题意函数存在零点，即有解.

又 ，

易知在上是减函数，又， ，即，

所以的取值范围是.

（2），定义域为， 为偶函数

检验： ，

则为偶函数，

因为函数与的图象只有一个公共点，

所以方程只有一解，即只有一解，

令 ，则有一正根，

当时， ，不符合题意，

当时，若方程有两相等的正根，则且 ，解得，

若方程有两不相等实根且只有一正根时，因为图象恒过点，只需图象开口向上，所以即可，解得，

综上， 或，即的取值范围是.