题目内容

【题目】如图,在直三棱柱中,分别是棱的中点,点棱上,且.

(1)求证:平面

(2)当时,求三棱锥的体积.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】试题分析:(1)连接于点,由重心性质可得,由相似可得,最后根据线面平行判定定理得结论(2)取上一点使 ,利用平行进行等体积代换,最后根据锥体体积公式求体积

试题解析:解:(1)(法一)连接于点,连接

分别是棱中点,故点的重心

中,有

,又平面

平面

(法二)取的中点,连接

是棱的中点,的中点,

的中位线,即平面

为棱的中点,的中点

,由,且为直三棱柱

,进而得

,即平面

平面平面

平面 平面

(2)取上一点使

且直三棱柱

,∵为中点

,,平面

,

到平面的距离等于

∴三棱锥的体积为

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