题目内容
5.已知定义在实数集R上的奇函数,f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$1)求函数f(x)在[-1,1]上的解析式;
2)判断f(x)在(0,1)上的单调性.
分析 (1)定义在R上的奇函数f(x),可得f(0)=0,及x∈(-1,0)时f(x)的解析式,x=-1和1时,同时结合奇偶性和单调性求解.
(2)证明单调性可用定解决.
解答 解:(1)当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1)
∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=$-\frac{{{2^{-x}}}}{{{4^{-x}}+1}}$=$-\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$
由f(0)=f(-0)=-f(0)得f(0)=0
又f(1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1)
得f(1)=f(-1)=0,∴$f(x)=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{2^x}{{{4^x}+1}}}\\{-\frac{2^x}{{{4^x}+1}}}\\{\;}\\ 0\end{array}}\right.$$\begin{array}{l}{x∈(0,1)}\\{\;}\\{x∈(-1,0)}\\{\;}\\{x∈\{-1,0,1\}}\end{array}$
(2)当x∈(0,1)时,$f(x)=\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$
任取x1,x2∈(0,1)且x1<x2,f(x2)-f(x1)
=$\frac{{{2^{x_2}}}}{{{4^{x_2}}+1}}$-$\frac{{{2^{x_1}}}}{{{4^{x_1}}+1}}$=$\frac{{({2^{x_2}}-{2^{x_1}})(1-{2^{{x_1}+{x_2}}})}}{{({4^{x_1}}+1)({4^{x_2}}+1)}}$
∵0<x1<x2<1,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),
∴f(x)在(0,1)上是减函数.
点评 本题考查奇偶性,函数单调性的证明,考查学生分析解决问题的能力,综合性较强.
A. | 命题“若x2-1=0,则x=1”的逆否命题为:“若x≠1则x2-1≠0” | |
B. | “x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件 | |
C. | 若p∧q为假命题,则p、q均为假命题 | |
D. | 对于命题p:?x∈R使得x2+x+1<0,则?p:?x∈R均有x2+x+1≥0 |
A. | 16 | B. | 36 | C. | 42 | D. | 60 |
A. | -$\sqrt{3}$ | B. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | C. | -$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D. | $\sqrt{3}$ |
A. | $\frac{7}{4}$ | B. | $\frac{4}{3}$ | C. | $\frac{3}{2}$ | D. | $\frac{78}{71}$ |
A. | $({0,\frac{1}{2}})$ | B. | (-∞,-1)∪(1,+∞) | C. | $({\frac{1}{2},+∞})$ | D. | (-2,+∞) |