Question

20．已知在△ABC中，试证：$\frac{π}{3}$≤$\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$＜$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 利用在△ABC中大角对大边可知（a-b）（A-B）≥0、（b-c）（B-C）≥0、（c-a）（C-A）≥0，进而放缩、整理可知$\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$≥$\frac{π}{3}$；利用在△ABC中两边之和大于的三边可知a+b＞c、b+c＞a、c+a＞b，进而利用不等式的性质、放缩、整理可知$\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$＜$\frac{π}{2}$．

解答 证明：依题意在△ABC中大角对大边，
故（a-b）（A-B）≥0，（b-c）（B-C）≥0，（c-a）（C-A）≥0，
展开得：aA+bB≥bA+aB，bB+cC≥cB+bC，cC+aA≥aC+cA，
∴aA+bB+bB+cC+cC+aA≥bA+aB+cB+bC+aC+cA，
∴（aA+bB+bB+cC+cC+aA）+（aA+bB+cC）≥（bA+aB+cB+bC+aC+cA）+（aA+bB+cC），
整理得：3（aA+bB+cC）≥（a+b+c）（A+B+C）=π（a+b+c），
即$\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$≥$\frac{π}{3}$；
依题意在△ABC中两边之和大于的三边，
故a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，
∴a+b+c＞2c，a+b+c＞2a，a+b+c＞2b，
∴（a+b+c）C＞2cC，（a+b+c）A＞2aA，（a+b+c）B＞2bB，
∴（a+b+c）（A+B+C）＞2（aA+bB+cC），
∴$\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$＜$\frac{A+B+C}{2}$=$\frac{π}{2}$；
综上所述，$\frac{π}{3}$≤$\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$＜$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，利用三角形中大角对大边、两边之和大于的三边是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．