题目内容
【题目】(本题满分12分)如图, 是圆
的直径,点
是圆
上异于
的点,
垂直于圆
所在的平面,且
.
(Ⅰ)若为线段
的中点,求证
平面
;
(Ⅱ)求三棱锥体积的最大值;
(Ⅲ)若,点
在线段
上,求
的最小值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ) ;(Ⅲ)
.
【解析】解法一:(Ⅰ)在中,因为
,
为
的中点,
所以.又
垂直于圆
所在的平面,所以
.
因为,所以
平面
.
(Ⅱ)因为点在圆
上,
所以当时,
到
的距离最大,且最大值为
.
又,所以
面积的最大值为
.
又因为三棱锥的高
,故三棱锥
体积的最大值为
.
(Ⅲ)在中,
,
,所以
.
同理,所以
.
在三棱锥中,将侧面
绕
旋转至平面
,使之与平面
共面,如图所示.
当,
,
共线时,
取得最小值.
又因为,
,所以
垂直平分
,
即为
中点.从而
,
亦即的最小值为
.
解法二:(Ⅰ)、(Ⅱ)同解法一.
(Ⅲ)在中,
,
,
所以,
.同理
.
所以,所以
.
在三棱锥中,将侧面
绕
旋转至平面
,使之与平面
共面,如图所示.
当,
,
共线时,
取得最小值.
所以在中,由余弦定理得:
.
从而.
所以的最小值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了响应国家号召,某校组织部分学生参与了“垃圾分类,从我做起”的知识问卷作答,并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类与“问卷的结果”有关?
不合格 | 合格 | |
男生 | 14 | 16 |
女生 | 10 | 20 |
(1)是否有90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关?
(2)在成绩合格的学生中,利用性别进行分层抽样,共选取9人进行座谈,再从这9人中随机抽取5人发送奖品,记拿到奖品的男生人数为X,求X的分布列及数学期望.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.703 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】已知过原点的动直线与圆
:
相交于不同的两点
,
.
(1)求圆的圆心坐标;
(2)求线段的中点
的轨迹
的方程;
(3)是否存在实数,使得直线
:
与曲线
只有一个交点?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
【题目】某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况,随机抽取了100位居民作为样本,就最近一年来网购消费金额(单位:千元),网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内,按
,
,
,
,
,
分成6组,其频率分布直方图如图所示.
(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数;
(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”,补全下面的列联表,并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”;
男 | 女 | 合计 | |
网购迷 | 20 | ||
非网购迷 | 45 | ||
合计 | 100 |
(3)调査显示,甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立,两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式,所得数据如下表所示:
网购总次数 | 支付宝支付次数 | 银行卡支付次数 | 微信支付次数 | |
甲 | 80 | 40 | 16 | 24 |
乙 | 90 | 60 | 18 | 12 |
将频率视为概率,若甲、乙两人在下周内各自网购2次,记两人采用支付宝支付的次数之和为,求
的数学期望.
附:观测值公式:
临界值表:
0.01 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |