Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx-2sin²$\frac{x}{2}$．
（1）求f（$\frac{3}{2}$π）的值；
（2）求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）-1，代入x=$\frac{3}{2}$π，即可得解．
（2）由f（x）＞0，可得sin（x+$\frac{π}{6}$）$＞\frac{1}{2}$，利用正弦函数的性质可得2kπ$+\frac{π}{6}$＜x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，即可解得不等式的解集．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinx-2sin²$\frac{x}{2}$=$\sqrt{3}$sinx-2×$\frac{1-cosx}{2}$=$\sqrt{3}$sinx+cosx-1=2sin（x+$\frac{π}{6}$）-1．
∴f（$\frac{3}{2}$π）=2sin（$\frac{3}{2}$π+$\frac{π}{6}$）-1=-2cos$\frac{π}{6}$-1=-$\sqrt{3}-1$…6分
（2）由f（x）＞0，可得2sin（x+$\frac{π}{6}$）＞1，即sin（x+$\frac{π}{6}$）$＞\frac{1}{2}$，
则：2kπ$+\frac{π}{6}$＜x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，即2kπ＜x＜$\frac{2π}{3}$+2kπ，
所以不等式的解集是：{x|2kπ＜x＜$\frac{2π}{3}$+2kπ，k∈Z}…12分

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，不等式的解法及应用，属于基础题．