题目内容
(本题满分16分)已知函数,.
(1)当时,若上单调递减,求a的取值范围;
(2)求满足下列条件的所有整数对:存在,使得的最大值, 的最小值;
(3)对满足(2)中的条件的整数对,试构造一个定义在且 上的函数:使,且当时,.
(1)当时,若上单调递减,求a的取值范围;
(2)求满足下列条件的所有整数对:存在,使得的最大值, 的最小值;
(3)对满足(2)中的条件的整数对,试构造一个定义在且 上的函数:使,且当时,.
(1)a的取值范围是
(2)满足条件的整数对是
(3)
(2)满足条件的整数对是
(3)
(1)当时,,………………………………………………1分
若,,则在上单调递减,符合题意;………3分
若,要使在上单调递减,
必须满足 ……………………………………………………………………5分
∴.综上所述,a的取值范围是 …………………………………6分
(2)若,,则无最大值,………………………7分
故,∴为二次函数,
要使有最大值,必须满足即且,…8分
此时,时,有最大值.………………………………………分
又取最小值时,,………………………………………………………分
依题意,有,则,…………分
∵且,∴,得,………………分
此时或.
∴满足条件的整数对是.……………………………12分
(3)当整数对是时,
,是以2为周期的周期函数,………………………分
又当时,,构造如下:当,则,
,
故…
若,,则在上单调递减,符合题意;………3分
若,要使在上单调递减,
必须满足 ……………………………………………………………………5分
∴.综上所述,a的取值范围是 …………………………………6分
(2)若,,则无最大值,………………………7分
故,∴为二次函数,
要使有最大值,必须满足即且,…8分
此时,时,有最大值.………………………………………分
又取最小值时,,………………………………………………………分
依题意,有,则,…………分
∵且,∴,得,………………分
此时或.
∴满足条件的整数对是.……………………………12分
(3)当整数对是时,
,是以2为周期的周期函数,………………………分
又当时,,构造如下:当,则,
,
故…
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