题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆
的右焦点为
，且离心率
，过点
且斜率为
的直线
交椭圆于点
，
两点，
为
的中点，过作直线的垂线
，直线
与直线相交于点
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明：点在一条定直线上；
（3）当
最大时，求
的面积.
【答案】（1）
（2）证明见解析（3）
【解析】
（1）由焦点坐标、离心率和椭圆
关系可构造方程组求得，进而得到椭圆方程；
（2）设
，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，进而得到
中点
的坐标，进而得到直线
方程，与直线
方程联立后可求得
点坐标，知点横坐标为定值
，从而得到结论；
（3）利用直线
和
的斜率可结合两角和差正切公式表示出
，利用基本不等式可求得的最大值，由取等条件可得此时
的值和点坐标；利用弦长公式和点到直线距离公式分别求得三角形的底和高，进而得到所求面积.
（1）
椭圆
的右焦点为
，
.
又
，
，
.
椭圆的标准方程为：.
（2）设
，
，
中点
，直线
：
，
联立方程组
，化简得：
，
，
，
将
代入直线的方程，得点的坐标为
，
，直线的方程为
.
直线过椭圆的右焦点
且与直线垂直，直线的方程为
.
解方程组
得：
，
点在定直线
上.
（3）设直线的倾斜角为
，直线的倾斜角为
.
由（2）可知：
，
.
.
当且仅当
，即
时取最大值，此时
最大.
此时直线方程为
，点为
.
由（2）可得：
，
，
，
弦长
，到直线的距离
，
.
【题目】《中华人民共和国道路交通安全法》第
条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”《中华人民共和国道路交通安全法》第
条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣
分，罚款
元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的
个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
月份 |
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不“礼让斑马线”驾驶员人数 |
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（1）请利用所给数据求不“礼让斑马线”驾驶员人数
与月份
之间的回归直线方程
，并预测该路口
月份的不“礼让斑马线”驾驶员人数；
（2）若从表中
月份和
月份的不“礼让斑马线”驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为
的样本，再从这人中任选
人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.
参考公式：
，
.
参考数据：
.
