题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面，
，点E是
的中点，点F在边
上移动.
（Ⅰ）若F为中点，求证：
平面
；
（Ⅱ）求证：
；
（Ⅲ）若二面角
的余弦值等于
，求
的值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）
.
【解析】
（Ⅰ）证明
得到答案.
（Ⅱ）证明
，
，得到
平面
，得到答案.
（Ⅲ）如图以A为原点建立空间直角坐标系，平面
的一个法向量为
，平面
的一个法向量为
，根据夹角公式计算得到答案.
（Ⅰ）在
中，因为点E是
中点，点F是
中点，所以.
又因为
平面
，
平面，所以
平面.
（Ⅱ）证因为底面
是正方形，所以
.
因为
底面，所以
，
，所以
平面
.
由于
平面，所以.
由已知
，点E是的中点，所以.
又因为
，所以平面，因为
平面，所以
.
（Ⅲ）如图以A为原点建立空间直角坐标系，
，
，
，
，
.
于是
，
.
设平面的一个法向量为
，
由
得
，取
，则
，
，得
由于
，
，
，所以
平面.
即平面的一个法向量为.
根据题意，
，解得
.
由于
，所以
.
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