题目内容
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别是
，
，
，
是其左右顶点，点
是椭圆
上任一点，且
的周长为6，若
面积的最大值为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点
且斜率不为0的直线交椭圆于
，
两个不同点，证明：直线
与
的交点在一条定直线上.
【答案】(1) 
(2)见解析
【解析】
（1）利用椭圆的定义，可求出
周长的表达式，当
点是椭圆的上（或下）顶点时，
面积有最大值为
，列出等式，结合
，求出椭圆方程；
（2）设出直线
的方程，与椭圆方程联立，得到一个一元二次方程，求出直线
与
的交点的坐标，结合一元二次方程根与系数关系，得出结论。
解：（1）由题意得
椭圆
的方程为；
（2）由（1）得
，
，
，设直线的方程为
，
，
，由
，得
，
，
，
，
直线的方程为
，直线的方程为
，
，
，
，直线与的交点在直线
上.
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