题目内容

16．计算：${∫}_{-1}^{0}$（1-$\sqrt{1+x}$）2dx．

分析 把被积函数展开，然后和的积分等于积分的和，再分别求出被积函数的原函数，代入积分上限和积分下限后作差得答案．

解答 解：${∫}_{-1}^{0}$（1-$\sqrt{1+x}$）2dx
=${∫}_{-1}^{0}$（1-2$\sqrt{1+x}$+1+x）dx
=${∫}_{-1}^{0}$（2+x）dx-${∫}_{-1}^{0}$（-2$\sqrt{1+x}$）dx
=$（2x+\frac{1}{2}{x}^{2}）{|}_{-1}^{0}-[-\frac{4}{3}（1+x）^{\frac{3}{2}}]{|}_{-1}^{0}$
=$-（-2+\frac{1}{2}）$$-[-\frac{4}{3}（1+0）^{\frac{3}{2}}+\frac{4}{3}（1-1）^{\frac{3}{2}}]$
=$\frac{3}{2}+\frac{4}{3}=\frac{17}{6}$．

点评 本题考查了定积分，关键是求出被积函数的原函数，是基础题．

练习册系列答案
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6．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，抛物线C上的两点A，B满足$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$．若点T（-$\frac{1}{2}$，0），则$\frac{|TA|}{|TB|}$的值为2．
7．对于R上可导函数f（x），若满足（x-a）f′（x）≥0，则必有（　　）
A．?x∈R，f（x）≤f（a）B．?x0∈R，?x∈（-∞，x0），f′（x）＞0
C．?x0∈R，?x∈（x0，+∞），f′（x）＜0D．?x∈R，f（x）≥f（a）
4．若双曲线x2-y2=1与椭圆tx2+y2=1有相同的焦点，则椭圆tx2+y2=1的离心率为（　　）
A．$\frac{\sqrt{3}}{2}$B．$\frac{\sqrt{3}}{2}$C．$\frac{\sqrt{6}}{3}$D．$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
11．在△ABC中，下列各式一定成立的是（　　）
A．a=$\frac{bsinA}{cosB}$B．b=$\frac{asinA}{sinB}$C．c=acosB+bcosAD．b=$\frac{csinC}{sinB}$
1．已知cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，0＜α＜$\frac{π}{2}$，则sin（$α+\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
8．若存在满足$\frac{1}{x}+\frac{m}{y}$=1（m＞0，且m为常量）的变量x，y（x＞0，y＞0）使得表达式x+y-$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大值，则m的取值范围是（　　）
A．（$\frac{1}{2}$，2）B．（$\frac{1}{3}$，3）C．[1，3]D．[$\frac{1}{4}$，1]
5．定义域R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
①f′（x）是偶函数；
②f（x）在x=0处的切线与直线为x+2=y垂直．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=lnx-$\frac{m}{x}$，若存在x∈[1，e]使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．
6．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2渐近线分别为l1，l2，位于第一象限的点P在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是（　　）
A．$\sqrt{5}$B．$\sqrt{3}$C．2D．$\sqrt{2}$

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