Question

7．对于R上可导函数f（x），若满足（x-a）f′（x）≥0，则必有（　　）

• A． ?x∈R，f（x）≤f（a）
• B． ?x₀∈R，?x∈（-∞，x₀），f′（x）＞0
• C． ?x₀∈R，?x∈（x₀，+∞），f′（x）＜0
• D． ?x∈R，f（x）≥f（a）

Answer 1

分析 根据已知题意，解（x-a）f′（x）≥0；然后根据f'（x）的符号判断f（x）的单调性，继而确定最小值，得到f（x）与f（a）的关系

解答 解：根据题意，对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-a）f′（x）≥0
当x≥a时，x-a≥0
∴此时f'（x）≥0
即，当x≥a时，f（x）为增函数．
当x＜a时，x-a＜0
∴此时f'（x）＜0
即，当x＜a时，f（x）为减函数．
综上，x=a时，f（x）取最小值f（a）
∴f（x）≥f（a）
故选：D．

点评 本题考查函数的导数与单调性的关系．通过函数的导数，确定单调性，再根据x=a两侧的单调性得出结论．属于中档题