Question

5．定义域R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+3同时满足以下条件：f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
①f′（x）是偶函数；
②f（x）在x=0处的切线与直线为x+2=y垂直．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=lnx-$\frac{m}{x}$，若存在x∈[1，e]使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）欲求解析式中的三个参数，则寻找三个参数的三个等式即可，根据f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，可得f′（1）=0，根据f′（x）是偶函数可求出b，最后根据f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，建立关系式即可求出函数的解析式；
（2）将参数m分离出来，即存在x∈[1，e]，使m＞xlnx-x³+x，然后研究不等式右边的函数的最小值即可求出m的范围．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∴f′（1）=3a+2b+c=0①
由f′（x）是偶函数得：b=0②
又f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，f′（0）=c=-1③
由①②③得：a=$\frac{1}{3}$，b=0，c=-1，
即有f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x+3；
（2）由已知得：存在x∈[1，e]，使lnx-$\frac{m}{x}$＜x²-1，
即存在x∈[1，e]，使m＞xlnx-x³+x
设M（x）=xlnx-x³+x，x∈[1，e]，
则M′（x）=lnx-3x²+2，
设H（x）=M′（x）=lnx-3x²+2，则H′（x）=$\frac{1}{x}$-6x=$\frac{1-6{x}^{2}}{x}$，
∵x∈[1，e]，∴H'（x）＜0，即H（x）在[1，e]递减，
于是，H（x）≤H（1），即H（x）≤-1＜0，即M′（x）＜0
∴M（x）在[1，e]上递减，∴M（x）≥M（e）=2e-e³
于是有m＞2e-e³为所求．

点评 本题主要考查了函数的单调性、奇偶性以及在某点处的切线问题，同时考查了存在性问题，是一道函数综合题，考查学生的基本功．