Question

2．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}2x-y≤0\\ x-3y+5≥0\\ x＞0\\ y＞0\end{array}$，则$z={（{\frac{1}{4}}）^x}•{（{\frac{1}{2}}）^y}$的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． $\frac{1}{8}$
• D． $\frac{1}{16}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用指数幂的运算法则，利用数形结合确定z的最小值

解答 解：由题意$z={（{\frac{1}{4}}）^x}•{（{\frac{1}{2}}）^y}$=（$\frac{1}{2}$）^2x+y，
作出不等式组对应的平面区域如图，
设m=2x+y，得y=-2x+m，
平移直线y=-2x+m，
由图象可知当直线y=-2x+m经过点A时，直线y=-2x+m的截距最大，
此时m最大，z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{x-3y+5=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
代入目标函数z=（$\frac{1}{2}$）²⁺²=（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{16}$，
故选：D

点评 本题考查简单线性规划，解题的关键是确定出约束条件，目标函数，正确作出约束条件对应的图象，根据判断规则判断出目标函数的最优解，从而求出最值