题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,点到点的距离比它到轴的距离多1,记点的轨迹为;
(1)求轨迹的方程;
(2)求定点到轨迹上任意一点的距离的最小值;
(3)设斜率为的直线过定点,求直线与轨迹恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时的相应取值范围.
【答案】(1) ;(2) ;
(3) 当时,直线与轨迹恰好有一个公共点;
当时, 直线与轨迹恰好有两个公共点;
当时, 直线与轨迹恰好有三个公共点
【解析】
(1) 设点,再根据题意求解关于的方程化简即可.
(2)根据(1)中的轨迹方程,分情况讨论的最小值即可.
(3)根据(1)中的方程,结合直线过分三种情况进行讨论即可.
(1)设点,依题意得,即,
即.化简整理得 .
故点的轨迹的方程为
(2)在点的轨迹中,记,.
设,当点的轨迹在上时,
,当时取得最小值.
当点的轨迹在上时,
综上所述:当时,即,.
(3) 在点的轨迹中,记,.
依题意,可设直线的方程为.
由方程组 可得①
当时,此时 ,把代入轨迹的方程,得.
故此时直线:与轨迹恰好有一个公共点.
当时,方程①的判别式为②
设直线与轴的交点为,则
由,令,得③
若,由②③解得,或.
即当时,直线与没有公共点,与有一个公共点,
故此时直线与轨迹恰好有一个公共点.
若或,由②③解得,或.
即当时,直线与只有一个公共点,与有一个公共点.
当时, 直线与有两个公共点,与没有公共点.
故当时,直线与恰好有两个公共点.
若,由②③解得,或.
即当时,直线与有两个公共点,与有一个公共点,
故此时直线与轨迹恰好有三个公共点.
综上所述:当时,直线与轨迹恰好有一个公共点;
当时, 直线与轨迹恰好有两个公共点;
当时, 直线与轨迹恰好有三个公共点
【题目】某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
频率 | a | 0.2 | 0.45 | b | c |
(1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求a,b,c的值;
(2)在(1)的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为,等级系数为5的2件日用品记为,现从,这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.