题目内容
【题目】已知函数.
(1)若曲线在点
处的切线方程为
,求
的值;
(2)若的导函数
存在两个不相等的零点,求实数
的取值范围;
(3)当时,是否存在整数
,使得关于
的不等式
恒成立?若存在,求出
的最大值;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)存在,最大值为
.
【解析】
(1)求出函数的导数
,由题意得出
从而可求出实数
的值;
(2)令,可得知函数
在
上有两个零点,分
和
两种情况讨论,利用导数分析函数
在区间
上的单调性和极值,由题意转化为函数
极值相关的不等式,解出即可得出实数
的取值范围;
(3)将代入函数
的解析式得出
,对该函数求导得出
,构造函数
,利用单调性结合零点存在定理找出函数
的极小值点
,并满足
,结合此关系式计算得出
,从而可得出整数
的最大值.
(1),
因为曲线在点
处的切线方程为
,
所以,得
;
(2)因为存在两个不相等的零点.
所以存在两个不相等的零点,则
.
①当时,
,所以
单调递增,至多有一个零点
②当时,因为当
时,
,
单调递增,
当时,
,
单调递减,
所以时,
.
因为存在两个零点,所以
,解得
.
因为,所以
.
因为,所以
在
上存在一个零点.
因为,所以
.
因为,设
,则
,
因为,所以
单调递减,
所以,所以
,
所以在
上存在一个零点.
综上可知,实数的取值范围为
;
(3)当时,
,
,
设,则
.所以
单调递增,
且,
,所以存在
使得
,
因为当时,
,即
,所以
单调递减;
当时,
,即
,所以
单调递增,
所以时,
取得极小值,也是最小值,
此时,
因为,所以
,
因为,且
为整数,所以
,即
的最大值为
.
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