题目内容
【题目】在直角坐标系中,已知定点
、
,动点
满足
,设点
的曲线为
,直线
与
交于
两点.
(1)写出曲线的方程,并指出曲线
的轨迹;
(2)当,求实数
的取值范围;
(3)证明:存在直线,满足
,并求实数
的取值范围.
【答案】(1),曲线
的轨迹是以
、
为焦点的双曲线的上支;(2)
或
;(3)详见解析,
,
【解析】
(1)结合双曲线的定义,可知点的轨迹是以
、
为焦点的双曲线的上支,求出轨迹方程即可;
(2)将直线与的方程联立,消去
,可得到关于
的一元二次方程,令
,求解即可;
(3)联立直线与的方程,得到关于
的一元二次方程,由
,可得
,设
,则
,结合根与系数关系,可得到
,若存在符合题意的直线,还需要满足以下三个条件:①
;②
;③
,求解即可.
(1)动点满足
,且
、
,所以点
的轨迹是以
、
为焦点的双曲线的上支,
,
,
,
所以曲线的方程为
;
(2)由题意,联立,消去
,得
,
,解得
或
.
故的取值范围是
或
.
(3)因为,所以
,设
,则
.
联立,可得
,
,
则,
,
所以,整理得
.
若存在符合题意的直线,还需要满足以下三个条件:①;②
;③
.
①,整理得
,又
,则
,显然恒成立;
②,等价于
,
因为恒成立,所以
,即
;
③,由②知
,所以
.
所以满足
,即
.
又因为,所以
,且
,故
.
所以存在直线,满足
,
的取值范围为:
,
的取值范围为:
.
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