Question

【题目】对于函数f1（x）、f2（x）、h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=af1（x）+bf2（x），那么称h（x）为f1（x）、f2（x）的和谐函数．
（1）已知函数f1（x）=x﹣1，f2（x）=3x+1，h（x）=2x+2，试判断h（x）是否为f1（x）、f2（x）的和谐函数？并说明理由；
（2）已知h（x）为函数f1（x）=log3x，f2（x）=log x的和谐函数，其中a=2，b=1，若方程h（9x）+th（3x）=0在x∈[3，9]上有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：h（x）是f1（x）、f2（x）的和谐函数，因为存在a=﹣1，b=1

使h（x）=﹣f1（x）+f2（x）

设h（x）=af1（x）+bf2（x），则2x+2=a（x﹣1）+b（3x+1），

所以 ，

所以h（x）是f1（x）、f2（x）的和谐函数

（2）解：解法一：依题意，由方程 在x∈[3，9]上有解，即log3（9x）+tlog3（3x）=0在x∈[3，9]上有解，

化简得：2+log3x+t（1+log3x）=0

设m=log3x，x∈[3，9]，则m∈[1，2]，即 （1+m）t+（t+2）=0

原问题可以转化关于m的方程（1+t）m+（t+2）=0在m∈[1，2]上有解，

令g（m）=（1+t）m+（t+2）

由题意得：g（1）g（2）≤0，解得 ．

综上：

解法二：log3（9x）+tlog3（3x）=0，化简得：2+log3x+t（1+log3x）=0

因为x∈[3，9]，所以（1+log3x）∈[2，3]，

原式可转化为方程 在x∈[3，9]区间上有解

即求函数 在x∈[3，9]的值域

令 ，因为 2≤1+log3x≤3

由反比例函数性质可得，函数g（x）的值域为

所以实数t的取值范围

【解析】（1）h（x）是f1（x）、f2（x）的和谐函数，存在a=﹣1，b=1，设h（x）=af1（x）+bf2（x），利用新定义判断即可．（2）解法一：方程 在x∈[3，9]上有解，即log3（9x）+tlog3（3x）=0在x∈[3，9]上有解，设m=log3x，x∈[3，9]，则m∈[1，2]，原问题可以转化关于m的方程（1+t）m+（t+2）=0在m∈[1，2]上有解，令g（m）=（1+t）m+（t+2）通过g（1）g（2）≤0，求解即可．（2）解法二：log3（9x）+tlog3（3x）=0，化简得：2+log3x+t（1+log3x）=0，原式可转化为方程 在x∈[3，9]区间上有解，即求函数 在x∈[3，9]的值域，通过分离常数法，求解即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的值的相关知识点，需要掌握函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法才能正确解答此题．