题目内容
【题目】已知函数
，满足
，则（ ）
A.函数
有2个极小值点和1个极大值点
B.函数有2个极大值点和1个极小值点
C.函数
有可能只有一个零点
D.有且只有一个实数
，使得函数有两个零点
【答案】A
【解析】
,则
，由
，方程
有两个不等实数根
，则设
，可得出函数
的单调性，从而可判断出答案.
设
所以
设
，由.
所以
，因为二次函数
的开口向上，对称轴方程为
.
所以方程有两个不等实数根，则设.
则令
可得
或
.
令
可得
或
.
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
又当
时，
，
又
，所以
由，所以
所以
根据单调性可知，函数有2个极小值点和1个极大值点，所以选项A正确，B不正确.
根据函数的单调性，可画出函数的大致草图如下.
当
时，函数
没有零点
当
时，函数有两个零点
当
时，函数有四个零点
当
时，函数有三个零点
当
时，函数有两个零点
由上可知选项C,D都不正确.
故选：A
【题目】某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数
与烧开一壶水所用时间
的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.
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1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中
，
.
（1）根据散点图判断，
与
哪一个更适宜作烧开一壶水时间关于开关旋钮旋转的弧度数
的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；
（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量
成正比，那么为多少时烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
【题目】2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年,也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点.作为制造业城市,佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置,聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心,走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路.在推动制造业高质量发展的大环境下,佛山市某工厂统筹各类资源,进行了积极的改革探索.下表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量x（
）（件）与相应的生产总成本y（万元）的四组对照数据.
x | 5 | 7 | 9 | 11 |
y | 200 | 298 | 431 | 609 |
工厂研究人员建立了y与x的两种回归模型,利用计算机算得近似结果如下：
模型①：
模型②：
.
其中模型①的残差（实际值－预报值）图如图所示：
（1）根据残差分析,判断哪一个模型更适宜作为y关于x的回归方程？并说明理由；
（2）市场前景风云变幻,研究人员统计历年的销售数据得到每件产品的销售价格q（万元）是一个与产量x相关的随机变量,分布列为：
q |
|
|
|
P | 0.5 | 0.4 | 0.1 |
结合你对（1）的判断,当产量x为何值时,月利润的预报期望值最大？最大值是多少（精确到0.1）？
