题目内容
【题目】已知椭圆C：
（0＜b＜2）的离心率为
，F为椭圆的右焦点，PQ为过中心O的弦．
（1）求
面积的最大值；
（2）动直线
与椭圆交于A，B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标．
【答案】（1）
，（2）证明见详解，定点
的坐标为
.
【解析】
（1）先由条件得出
，
，然后
的面积等于
和
的面积之和，设
点到
轴的距离为
，
，然后即可分析出答案
（2）设
，将
代入
得
，则有
，然后可推出
，当
，
时斜率的和恒为0，然后解出即可.
（1）设椭圆的半焦距为
，则
由
得，所以
又由的面积等于和的面积之和，
设点到轴的距离为，由
是过椭圆的中心的弦，则
点到轴的距离也为
所以和的面积相等，所以
因为的最大值为
，所以的最大面积为
（2）由（1）知椭圆
设
将代入得
则有
直线AM与直线BM的斜率之和：
为与
无关的常数，可知当，时斜率的和恒为0，
解得
或
（舍）
综上所述：所有满足条件的定点的坐标为
【题目】鱼卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人喜欢,而且深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年,有着不少来自零售商和酒店的客户当地的习俗是农历正月不生产鱼卷,客户正月所需要的鱼卷都会在上一年农历十二月底进行一次性采购小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位:箱)在
的客户称为“熟客”,并把他们去年采购的数量制成下表:
采购数x |
|
|
|
|
|
客户数 | 10 | 10 | 5 | 20 | 5 |
(1)根据表中的数据作出频率分布直方图,并估计采购数在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数;
(2)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的
,估算小张去年年底总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(3)由于鱼卷受到游客们的青睐,小张做了一份市场调查,决定今年年底是否在网上出售鱼卷,若不在网上出售鱼卷,则按去年的价格出售,每箱利润为20元,预计销售量与去年持平;若在网上出售鱼卷,则需把每箱售价下调2至5元,且每下调m元(
)销售量可增加1000m箱,求小张今年年底收入Y(单位:元)的最大值.
