题目内容
【题目】M是正方体的棱
的中点,给出下列四个命题:①过M点有且只有一条直线与直线
都相交;②过M点有且只有一条直线与直线
都垂直;③过M点有且只有一个平面与直线
都相交;④过M点有且只有一个平面与直线
都平行;其中真命题是( )
A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③
【答案】C
【解析】
利用反证法说明①正确,通过直接作平面说明②④正确,直接作平面说明③错误.
由题意得直线与
是两条互相垂直的异面直线,点
不在这两异面直线中的任何一条上,
假设过点有两条直线与直线
都相交,如图,
设交点分别为,则
四点共面,从而直线
共面,与
与
异面矛盾,因此假设不成立;显然过
点多于两条直线与直线
都相交也不成立,故过M点有且只有一条直线与直线
都相交,①正确.
过点作直线
分别与直线
平行,如图,
因为直线异面,所以直线
必为相交直线,即可确定一个平面
,因为与直线
都垂直的直线必垂直这个平面,而过点
有且只有一条直线
与平面
垂直,所以过M点有且只有一条直线与直线
都垂直,故②正确.
因为点不在这两异面直线中的任何一条上,所以平面
与直线
都平行,根据作法知平面
只有一个,所以过
点有且只有一个平面与直线
都平行,故④正确.
在平面过点
作直线
(与
不重合),如图
则,
确定的平面都与直线
都相交,由
有无数条,所以过M点有无数个平面与直线
都相交,故③不正确.
故选:C
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