题目内容

【题目】如图,在矩形中,,点是边上一点,且,点的中点,将沿着折起,使点运动到点处,且满足.

1)证明:平面

2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

1)取的中点,连接,由,进而,由,得. 进而平面,进而结论可得证(2)(方法一)过点作的平行线于点,以点为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,求得平面平面的法向量,由二面角公式求解即可(方法二)取的中点上的点,使,连接,得,得二面角的平面角为,再求解即可

1)证明:取的中点,连接,由已知得,所以,又点的中点,所以.

因为,点是线段的中点,

所以.

又因为,所以,从而平面

所以,又不平行,

所以平面.

2)(方法一)由(1)知,过点作的平行线于点,以点为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,则点

所以.

设平面的法向量为

,得,令,得.

同理,设平面的法向量为

,得

,得.

所以二面角的余弦值为.

(方法二)取的中点上的点,使,连接,易知.

由(1)得,所以平面,所以

,所以平面

所以二面角的平面角为.

又计算得

所以.

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