Question

【题目】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（1）证明：A=2B
（2）若△ABC的面积S= ，求角A的大小．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵b+c=2acosB，

∴sinB+sinC=2sinAcosB，

∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB

∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB

∴sinB=2=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）

∵A，B是三角形中的角，

∴B=A﹣B，

∴A=2B

（2）

解：∵△ABC的面积S= ，

∴ bcsinA= ，

∴2bcsinA=a2，

∴2sinBsinC=sinA=sin2B，

∴sinC=cosB，

∴B+C=90°，

∴A=90°

【解析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A=2B（2）若△ABC的面积S= ，则 bcsinA= ，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小．本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．