题目内容
【题目】如果函数f(x)＝
x3－x满足：对于任意的x1，x2∈[0,2]，都有|f(x1)－f(x2)|≤a2恒成立，则a的取值范围是( )
A. [－
， 
]
B. [－
， 
]
C. (－∞，－ 
]∪[
，＋∞)
D. (－∞，－ 
]∪[
，＋∞)
【答案】D
【解析】∵f′(x)＝x2－1，
∴当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当1<x<2时，f′(x)>0，f(x)单调递增.
∴f(x)＝
x3－x在x＝1时取到极小值，也是x∈[0,2]上的最小值，
∴f(x)极小值＝f(1)＝－
＝f(x)最小值，
又∵f(0)＝0，f(2)＝
，
∴在x∈[0,2]上，f(x)最大值＝f(2)＝
，∵对于任意的x1，x2∈[0,2]，
∴都有|f(x1)－f(x2)|≤a2恒成立，
∴只需a2≥|f(x)最大值－f(x)最小值|＝
－(－
)＝
即可，
∴a≥
或a≤－
.
故选D.
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