题目内容
【题目】如图,四棱锥的底面
是直角梯形,
平面
,
,
,
,点
为棱
的中点.
(1)证明:;
(2)若点为棱
上一点,且
与平面
所成角的正弦值是
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】
(1)推导出,
,
两两垂直,以
为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明
.
(2)求出,0,
是平面
的一个法向量,由
与平面
所成角的正弦值是
,求出
,求出平面
的法向量和平面
法向量,利用向量法能求出二面角
的余弦值.
解:(1)证明:平面
,
平面
,
平面
,
,
,
,
,
,
两两垂直,
以为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
(2)解:由已知,设,
,设
,
由(1)知,,
,
,
,
解得,
,
,
,
,
平面
,
是平面
的一个法向量,
设与平面
所成角为
,
则,
解得或
(舍
,
,
设平面的法向量
,
,
,
则,取
,得
,
平面
,
平面
的一个法向量
,
,
,
设二面角的平面角为
,
则二面角的余弦值为:
.

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