题目内容
【题目】如图，四棱锥
的底面
是直角梯形，
平面，
，
，
，点
为棱
的中点．
（1）证明：
；
（2）若点
为棱上一点，且
与平面所成角的正弦值是
，求二面角
的余弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）推导出
，
，
两两垂直，以
为原点，为
轴，为
轴，为
轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明
．
（2）求出
，0，
是平面
的一个法向量，由
与平面所成角的正弦值是
，求出
，求出平面
的法向量和平面
法向量，利用向量法能求出二面角
的余弦值．
解：（1）证明：
平面，
平面，
平面，
，
，
，
，，两两垂直，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
， 
， 
， 
， 
， 
，
，
，
，
．
（2）解：由已知，设
，
，设
，
由（1）知，
， 
， 
，
，
解得
，
，
，
，
，
平面，
是平面的一个法向量，
设与平面所成角为
，
则
，
解得
或
（舍
，，
设平面的法向量
，，
，
则
，取
，得
，
平面
，平面的一个法向量
，
，
，
设二面角的平面角为，
则二面角的余弦值为：
．
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