Question

(10分)设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程
实根的个数（重根按一个计）．
（Ⅰ）求方程有实根的概率；
（Ⅱ）求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）


（Ⅲ）

本试题主要考查了古典概型概率的计算，以及分布列和数学期望的求解的综合运用。
（1）中理解本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的基本事件总数为6×6=36，那么借助于使方程有实根△=b²-4c≥0，得到事件A发生的基本事件数，得到概率值。
（2）利用ξ=0，1，2的可能取值，分别得到各个取值的概率值，然后写出分布列和数学期望值
（3）分析在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x²+bx+c=0有实根，这是一个条件概率，利用条件概率公式得到结论。
解：（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的基本事件总数为6×6=36，
满足条件的事件是使方程有实根，则△=b²-4c≥0，即．
下面针对于c的取值进行讨论
当c=1时，b=2，3，4，5，6； 当c=2时，b=3，4，5，6；
当c=3时，b=4，5，6；       当c=4时，b=4，5，6；
当c=5时，b=5，6；          当c=6时，b=5，6，
目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19，
因此方程有实根的概率为
（II）由题意知用随机变量ξ表示方程实根的个数得到
ξ=0，1，2   根据第一问做出的结果得到
则，，，
∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望  
（III）在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x²+bx+c=0有实根，
这是一个条件概率，
记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，
“方程有实根”为事件N，
则，，    ∴