Question

【题目】已知函数,在时取得极值.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)求证：当时，.

Answer 1

【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）详见解析.

【解析】

（1）在时取得极值，则，从而可得a值和函数解析式，求导，解不等式和，即可确定f（x）的单调区间；（2）构造函数g（x）＝，对函数求导，判断函数单调性，通过单调性易得g（x）＞0恒成立，进而得到结论．

(1)f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，所以2－＝0.所以a＝4.

此时f′(x)＝＝＝. 因为f(x)的定义域是{x|x>0}，

所以当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.所以当a＝4时，x＝2是f(x)的极小值点．即增区间为，减区间为.

(2)证明：设g(x)＝x3－x2－lnx，则g′(x)＝2x2－x－，

因为当x>1时，g′(x)＝>0，所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数．

所以g(x)>g(1)＝>0.所以当x>1时， x2＋lnx<x3.