题目内容
【题目】已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(1)证明{an+ }是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)证明: +
+…+
<
.
【答案】
(1)证明: =3,
∵ ≠0,
∴数列{an+ }是以首项为
,公比为3的等比数列;
∴an+ =
=
,即
;
(2)证明:由(1)知 ,
当n≥2时,∵3n﹣1>3n﹣3n﹣1,∴ <
=
,
∴当n=1时, 成立,
当n≥2时, +
+…+
<1+
…+
=
=
<
.
∴对n∈N+时, +
+…+
<
.
【解析】(1)根据等比数列的定义,后一项与前一项的比是常数,即 =常数,又首项不为0,所以为等比数列;再根据等比数列的通项化式,求出{an}的通项公式;(2)将
进行放大,即将分母缩小,使得构成一个等比数列,从而求和,证明不等式.
【考点精析】认真审题,首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系),还要掌握等比数列的基本性质({an}为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列;{an}既是等差数列又是等比数列== {an}是各项不为零的常数列)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】在“新零售”模式的背景下,某大型零售公司咪推广线下分店,计划在市的
区开设分店,为了确定在该区开设分店的个数,该公司对该市已开设分店听其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记
表示在各区开设分店的个数,
表示这个
个分店的年收入之和.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2.5 | 3 | 4 | 4.5 | 6 |
(1)该公司已经过初步判断,可用线性回归模型拟合与
的关系,求
关于
的线性回归方程
;
(2)假设该公司在区获得的总年利润
(单位:百万元)与
之间的关系为
,请结合(1)中的线性回归方程,估算该公司应在
区开设多少个分店时,才能使
区平均每个店的年利润最大?
(参考公式: ,其中
)