Question

5．已知（1+2x）^m的展开式中的倒数第三项的二项式系数是45．
（1）求m的值；
（2）求二项式系数最大的项；
（3）求系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）由（1+2x）^m的展开式中的倒数第三项的二项式系数是${C}_{m}^{m-2}$=45，求得m的值．
（2）由m=10可得（1+2x）^m的展开式共有11项，故第6项的二项式系数最大，再根据通项公式得出结论．
（3）根据展开式的通项公式T_r+1=${C}_{10}^{r}$•2^r•x^r，由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{•2}^{r}{≥C}_{10}^{r-1}{•2}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{•2}^{r}{≥C}_{10}^{r+1}{•2}^{r+1}}\end{array}\right.$，求得r的值，可得系数最大的项．

解答 解：（1）由（1+2x）^m的展开式中的倒数第三项的二项式系数是${C}_{m}^{m-2}$=45，
即${C}_{m}^{2}$=45，求得m=10．
（2）由m=10可得（1+2x）^m的展开式共有11项，故第6项的二项式系数最大，为T₆=${C}_{10}^{5}$•2⁵•x⁵．
（3）（1+2x）¹⁰的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{10}^{r}$•2^r•x^r，由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{•2}^{r}{≥C}_{10}^{r-1}{•2}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{•2}^{r}{≥C}_{10}^{r+1}{•2}^{r+1}}\end{array}\right.$，
求得$\frac{19}{3}$≤r≤$\frac{22}{4}$，故可取r=7，即系数最大的项为第8项，为T₈=${C}_{10}^{7}$•2⁷x⁷．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．