Question

【题目】已知：在长方体中，，点是线段上的一个动点，则①的最小值等于__________；②直线与平面所成角的正切值的取值范围为____________.

Answer 1

【答案】

【解析】

①将△AB1C与△D1B1C以公共边B1C为邻边展开成一个平行四边形，其对角线AD1的长度即为所求．

②P点在B1C上移动，它在平面ADD1上的射影H落在A1D上，此时PH是定值A1B1，只需研究AH的范围即可．

长方体中，∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，点P是线段B1C上的一个动点．

①由长方体的性质可知，，，．

将△AB1C与△D1CB1以B1C为公共边展开成一平面四边形AB1D1C，如图：

易证四边形AB1D1C是平行四边形，所以当APD1三点共线时，即AP+D1P＝AD1时最小．

根据平行四边形对角线和四条边的性质即：，

代入数据得：，解得．

∴AP+D1P的最小值等于．

②由长方体的性质可知，对角面A1B1CD⊥平面ADD1A1，交线为A1D．

所以由点P向直线A1D作垂线PH，则PH⊥平面ADD1A1．

连接AH，则∠PAH即为直线PA与平面AA1D1D所成角．

显然PH＝AB＝1为定值．

设Rt△A1AD斜边上的高为h，则A1Dh＝ADAA1，求得h，此时AH最短．

结合A1A＝3，所以，

所以tan∠PAH．

故答案为：，．